1.4
Persamaan Garis dan Jarak

Definisi 1.4.1
Diberikan $P(x_1,y_1)$ dan $Q(x_2,y_2)$ titik-titik pada bidang koordinat. Gradien garis yang melalui $P$ dan $Q$ didefinisikan dengan $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Definisi 1.4.2
Sudut kemiringan garis $l$ adalah sudut $\varphi$ terkecil yang diukur berlawanan arah jarum jam dari arah sumbu-$x$ positif ke garis $l$.
Gambar 1.4.1 Gambar 1.4.1
Gradien garis dapat dihitung dengan rumus $$m=\tan\varphi.$$
Teorema 1.4.1.
Jika garis $l_1$ mempunyai gradien $m_1$ dan garis $l_2$ mempunyai gradien $m_2$, maka
  1. $l_1$ sejajar $l_2$ jika dan hanya jika $m_1=m_2$
  2. $l_1$ tegak lurus terhadap $l_2$ jika dan hanya jika $m_1m_2=-1$
Bentuk-bentuk persamaan garis:
  1. Persamaan garis yang melalui $2$ titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.$$
  2. Persamaan garis yang melalui titik $(x_1,y_1)$ dan mempunyai gradien $m$ adalah $$y-y_1=m(x-x_1).$$
  3. Persamaan garis dengan gradien $a$ dan memotong sumbu-$y$ di titik $(0,b)$ adalah $$y=ax+b.$$
  4. Persamaan garis vertikal yang melalui titik $(a,0)$ adalah $$x=a.$$
  5. Persamaan garis horizontal yang melalui titik $(0,b)$ adalah $$y=b.$$
  6. Persamaan (umum) garis dalam $x$ dan $y$ adalah $$ax+by+c=0$$ dengan $a,b,c$ konstan dan $ab\neq 0$.
Teorema 1.4.2.(Jarak Dua Titik)
Jarak antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ dalam bidang koordinat diberikan oleh $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Gambar 1.4.2
Teorema 1.4.3.(Titik Tengah)
Titik-tengah dari segmen garis yang menghubungkan dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ dalam bidang koordinat adalah $$\left(\frac{1}{2}(x_1+x_2),\frac{1}{2}(y_1+y_2)\right)$$
Misalkan $M(x_M,y_M)$ adalah titik tengah dari $P_1(x_1,y_1)$ dan $P_2(x_2,y_2)$. Gambar 1.4.2
Teorema 1.4.4.(Jarak Titik dan Garis)
Jarak $d$ antara titik $(x_0,y_0)$ ke garis $ax+by+c=0$ dalam bidang koordinat diberikan oleh\ $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Contoh 1
Jika titik tengah antara $A(2,-1)$ dan titik $B$ adalah titik $C(4,1)$ maka tentukan koordinat $B$.
Pembahasan
Misalkan $x_1=2,y_1=-1$, dan $B(x_2,y_2)$. Titik tengah antara $A$ dan $B$ adalah $C(4,1)$, maka \begin{align*} \frac{1}{2}(x_1+x_2)=4\\ \frac{1}{2}(2+x_2)=4\\ 2+x_2=8\\ x_2=6 \end{align*} dan \begin{align*} \frac{1}{2}(y_1+y_2)=1\\ \frac{1}{2}(-1+y_2)=1\\ -1+y_2=2\\ y_2=3. \end{align*} Dengan demikian, diperoleh bahwa $B(6,3)$.
Contoh 2
Diberikan titik koordinat $A(-2,-1)$, $B(0,3)$, dan $C(4,3)$. Jika garis $l$ melalui titik $A$ dan $B$, maka tentukan jarak titik $C$ ke garis $l$.
Pembahasan
Dari titik $A$ dan $B$, dimisalkan $x_1=-2$, $x_2=0$, $y_1=-1$, dan $y_2=3$. Perhatikan bahwa garis $l$ melalui titik $A$ dan $B$ sehingga garis $l$ memiliki gradien $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-(-1)}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2.$$ Dengan demikian, persamaan garis $l$ adalah \begin{align*} y-y_1&=m(x-x_1)\\ y-(-1)&=2(x-(-2))\\ y+1&=2(x+2)\\ y+1&=2x+4\\ y&=2x+4-1\\ y&=2x+3\\ 2x-y+3&=0. \end{align*} Akan dicari $d$ jarak antara titik $C(4,3)$ ke garis $l$. Diberikan $a=2$, $b=-1$, $c=3$, $x_0=4$, dan $y_0=3$. \begin{align*} d&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &=\frac{|2.4+(-1)3+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\ &=\frac{|8-3+3|}{\sqrt{4+1}}\\ &=\frac{|8|}{\sqrt{5}}\\ d&=\frac{8}{\sqrt{5}} \end{align*}
Contoh 3(EAS 2024/2025)
Tentukan semua nilai $a$ sehingga jarak antara titik $(a,-1)$ dan $(0,3)$ adalah $5$.
Pembahasan
Misalkan $d=5$ jarak antara titik $(a,-1)$ dan $(0,3)$ dengan $x_1=a$, $x_2=0$, $y_1=-1$, dan $y_2=3$. Diperoleh bahwa \begin{align*} \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}&=d\\ \sqrt{(0-a)^2+(3-(-1))^2}&=5\\ \sqrt{(-a)^2+(3+1)^2}&=5\\ \sqrt{a^2+4^2}&=5\\ \sqrt{a^2+16}&=5\\ a^2+16&=25\\ a^2&=25-16\\ a^2&=9\\ a=3 \quad &\mathrm{atau} \quad a=-3 \end{align*}
Contoh 4(EAS 2023/2024)
Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(1,-3)$ dan tegak lurus garis $-x+2y=2$.
Pembahasan
Perhatikan bahwa \begin{align*} -x+2y&=2\\ 2y&=x+2\\ y&=\frac{1}{2}x+1. \end{align*} Garis tersebut memiliki gradien $1/2$. Misalkan $m_1=1/2$ dan $m$ adalah gradien dari garis yang ingin kita cari persamaannya. Kedua garis saling tegak lurus sehingga \begin{align*} m.m_1&=-1\\ m.\frac{1}{2}&=-1\\ m&=-2. \end{align*} Garis yang melalui titik $(1,-3)$ dengan $x_1=1$ dan $y_1=-3$, serta bergradien $-2$ persamaannya adalah \begin{align*} y-y_1&=m(x-x_1)\\ y-(-3)&=-2(x-1)\\ y&=-2x+2-3\\ y&=-2x-1\\ 2x+y+1&=0. \end{align*}
Latihan!
ETS 2019/2020
Garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan $(a,b)$ dengan kemiringan $1/2$. Garis $h$ melalui titik $(7,5)$ dan $(a,b)$ dengan kemiringan $2$. Dapatkan titik $(a,b)$.

Jawab:
Carilah kedua persamaan yang mengandung variabel $a$ dan $b$, kemudian gunakan metode eliminasi.
ETS 2023/2024
Diberikan tiga titik koordinat $A(-1,3)$, $B(1,-2)$, dan $C(3,0)$.
  1. Dapatkan persamaan garis lurus $l$ yang melalui titik $B$ dan $C$.

    Jawab:
  2. Dapatkan jarak titik $A$ ke garis lurus $l$.

    Jawab:
ETS 2023/2024
Persamaan garis $l$ melalui titik $A(2,1)$ dan $B(-2,3)$. Dapatkan persamaan garis $k$ yang tegak lurus dengan garis $l$ yang melalui titik tengah antara $A$ dan $B$.

Jawab: